La trasformata di Laplace

La trasformata di Laplace associa in modo biunivoco ad una generica funzione del tepo a valori reali, una funzione della variabile complessa "s".
Per tempi minori di 0 si suppone che la trasformata sia nulla.

La trasformata di Laplace è un'operazione lineare quindi gode delle seguenti proprietà:

Regole di trasformazione

Attraverso le regole di trasformazione più basilari è possibile trasformare funzioni più complesse:

• Trasformata del seno 

• Trasformata del coseno

Una regola utile per la trasformazione è la seguente:

Teoremi sulla trasformata di Laplace

Traslazione nel tempo

Ipotesi:

Tesi:

Esempio:

                                

Teorema della periodicità

Ipotesi:

Tesi:

Esempio:

Attenzione: il teorema è detto della periodicità quindi può essere applicato a tutte le funzioni periodiche ma non solo infatti entrambi gli esempi presentati sopra riportano funzioni non periodiche.

Teorema della derivata

Ipotesi:

Tesi:

Esempio:

Esempio:

Teorema del valore finale

Ipotesi:

Tesi:

Teorema del valore iniziale

Ipotesi:

Tesi:

Esempio:

Si vuole calcolare il valore iniziale e finale della funzione gradino

Attenzione:il teorema del valore finale non può essere applicato a funzioni periodiche.

Trasformata di un'onda quadra

Per trasformare un onda quadra che è una funzione periodica applico il teorema della periodicità.

Essendo la trasformata di Laplace un operazione lineare allora la trasformata dell'impulso è uguale alla somma delle trasformate delle funzioni che lo compongono

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